\chapter{Navier-Stokes方程的经典推导(1822与1845)}
	\begin{abstract}
		本文详细回顾了Navier-Stokes方程的经典推导过程。Claude-Louis Navier在1822年首次基于分子相互作用理论提出了粘性流体运动方程，而Augustin-Louis Cauchy和George Gabriel Stokes在1845年分别从连续介质力学角度完善了这一方程。本文系统梳理了这两次关键推导的数学物理基础，比较了不同推导方法的异同，并阐述了这一流体力学基本方程的历史意义。
		
		\textbf{关键词}: Navier-Stokes方程; 流体力学; 粘性流动; 历史推导
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	Navier-Stokes方程作为描述粘性牛顿流体运动的基本方程，其发展历程跨越了19世纪前半叶。1822年，法国工程师和物理学家Navier首次在分子理论框架下推导出考虑粘性效应的流体运动方程\cite{navier1822}。1845年，爱尔兰数学家Stokes和法国数学家Cauchy分别从连续介质假设出发，独立地建立了更完善的方程形式\cite{stokes1845}。本文旨在重现这两次关键推导的数学细节，揭示其物理内涵。
	
	\section{Navier的分子理论推导(1822)}
	\subsection{基本假设}
	Navier的推导基于以下核心假设：
	\begin{enumerate}
		\item 流体由离散分子组成，分子间存在短程相互作用力
		\item 分子作用力与分子间距变化率成正比
		\item 宏观流动尺度远大于分子平均自由程
	\end{enumerate}
	
	\subsection{动量方程建立}
	考虑流体微元$\mathrm{d}V$的动量变化率：
	
	\begin{equation}
		\rho \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla p + \mathbf{f}_v + \mathbf{f}_{ext}
	\end{equation}
	
	其中$\mathbf{f}_v$表示粘性力项。Navier通过分子动量输运分析，得到：
	
	\begin{equation}
		\mathbf{f}_v = \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \frac{\mu}{3}\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u})
	\end{equation}
	
	\subsection{不可压缩流体的简化}
	对于不可压缩流动($\nabla \cdot \mathbf{u}=0$)，方程简化为：
	
	\begin{equation}
		\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}_{ext}
	\end{equation}
	
	\section{Stokes的连续介质推导(1845)}
	\subsection{本构关系假设}
	Stokes采用连续介质观点，提出以下本构关系公设：
	\begin{itemize}
		\item 应力张量$\sigma_{ij}$与应变率张量$e_{ij}$呈线性关系
		\item 流体各向同性
		\item 静止时应力退化为静水压力
	\end{itemize}
	
	\subsection{广义牛顿流体本构方程}
	最一般的线性本构关系为：
	
	\begin{equation}
		\sigma_{ij} = -p\delta_{ij} + A_{ijkl}e_{kl}
	\end{equation}
	
	考虑各向同性，系数张量$A_{ijkl}$可表示为：
	
	\begin{equation}
		A_{ijkl} = \lambda \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu (\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})
	\end{equation}
	
	因此应力-应变率关系为：
	
	\begin{equation}
		\sigma_{ij} = -p\delta_{ij} + \lambda e_{kk}\delta_{ij} + 2\mu e_{ij}
	\end{equation}
	
	\subsection{运动方程导出}
	将本构关系代入Cauchy动量方程：
	
	\begin{equation}
		\rho \frac{D u_i}{D t} = \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i
	\end{equation}
	
	得到完整的Navier-Stokes方程：
	
	\begin{equation}
		\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} \right) = -\nabla p + (\lambda + \mu)\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}
	\end{equation}
	
	\section{讨论与结论}
	比较Navier和Stokes的推导：
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{两种推导方法比较}
		\begin{tabular}{ccc}
			\toprule
			特征 & Navier(1822) & Stokes(1845) \\
			\midrule
			理论基础 & 分子相互作用 & 连续介质力学 \\
			粘性机制 & 分子动量交换 & 本构关系假设 \\
			数学严谨性 & 较弱 & 严格 \\
			适用范围 & 单原子气体 & 一般牛顿流体 \\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	Stokes的推导奠定了现代流体力学的基础，其本构理论框架可推广至非牛顿流体。Navier-Stokes方程虽然形式简洁，但其数学性质和湍流解的结构至今仍是研究热点。
	
	\section*{致谢}
	感谢19世纪数学家们的工作为流体力学奠定的基础。
	
	\bibliographystyle{plain}
	\bibliography{references}
	